为什么单调函数必有界（函数有界为什么还要单调才能收敛）

单调函数不一定有界（单调有界函数一定有极限，有极限的函数一定有界）如连续递增的一次函数，若不给一个定义域就没有界。同理连续函数也不一定有界，如一次函数。

(1) 单调函数不一定有界.

例如指数函数 f(x)=e^x 在其定义域区间(-∞,+∞)内是单调递增的,

但是显然它无上界,从而无界!

(2) 连续函数也不一定有界.

例如同样考虑指数函数 f(x)=e^x,(-∞,+∞), 它是一个基本初等函数,

所以一定连续, 但是显然它无界!