当前位置:首页>维修大全>综合>

椭圆准线方程的推导过程是什么(椭圆的切线方程推导过程)

椭圆准线方程的推导过程是什么(椭圆的切线方程推导过程)

更新时间:2024-04-13 01:03:13

椭圆准线方程的推导过程是什么

设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1,焦点为F1(c,0),F2(-c,0)(c>0)

设A(x,y)为椭圆上一点

则AF1=√[(x-c)²+y²]

设准线为x=f

则A到准线的距离L为│f-x│

设AF1/L=e则

(x-c)²+y²=e²(f-x)²

化简得(1-e²)x²-2xc+c²+y²-e²f²+2e²fx=0

令2c=2e²f

则f=c/e²

令该点为右顶点则(c/e²-a)e=a-c

当e=c/a时上式成立

故f=a²/c

则方程为(1-e²)x²+y²=e²f²-c²

与原椭圆方程对比则

a²=(e²f²-c²)/(1-e²),b²=e²f²-c²

a²=(c²/e²-c²)/(1-e²),b²=c²/e²-c²

a²-b²=(c²/e²-c²)e²/(1-e²)=c²

(1)左焦点为F1(-√2,0)--->c²=a²-b²=2 

椭圆过点M(√2,1)----->2/a²+1/b²=1 

联立--->a²=4,b²=2--->椭圆C方程:x²/4+y²/2=1

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(X,Y) 

|AP||QB|=|AQ||PB|--->|AP|/|PB|=|AQ|/|QB|(设比值=λ>0) 

又B、Q、A、P共线且P在椭圆外--->AP/PB=-λ,AQ/QB=λ 

定比分点公式:(x1-λx2)/(1-λ)=4,(y1-λy2)/(1-λ)=1 

(x1+λx2)/(1+λ)=X,(y1+λy2)/(1+λ)=Y 

分别相乘:4X=(x1²-λ²x2²)/(1-λ²),Y=(y1²-λ²y2²)/(1-λ²) 

又A,B在椭圆上--->x1²+2y1²=4,x1²+2y1²=4 

--->4X+2Y = [(x1²+2y1²)-λ²(x2²+2y2²)]/(1-λ²) = 4 

--->Q(X,Y) 在定直线 2X+Y=2 上

更多栏目