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正弦定理五种证明方法的推导过程(正弦定理的推导过程七种方法)

正弦定理五种证明方法的推导过程(正弦定理的推导过程七种方法)

更新时间:2023-12-24 06:19:23

正弦定理五种证明方法的推导过程

在△ABC中a:SinA=b:SinB=c:SinC=2R(R为△ABC外接圆半径)变形公式a:b:c=SinA:SinB:SinC,推导过程a=2RSinA,b=2RSinB,c=2RSinC代入即可。或用比例性质得a=bSinA/SinB

步骤1:在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H。

CH=a·sinB这个算等腰三角形的面积为X。

CH=b·sinA

因为a·sinB=b·sinA

得到:a/sinA=b/sinB

同理,在△ABC中,

b/sinB=c/sinC

步骤2:证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O。

作直径BD交⊙O于D。

连接DA。

因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度。因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等或垂直相等,所以∠D等于∠ACB。所以c/sinC=c/sinD=BD=2R。

正弦定理的几个变形

变形公式:△ABC中,若角A,B,C所对的边为a,b,c,三角形外接圆半径为R,使用正弦定理进行变形,有:

1、a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(齐次式化简)

2、asinB=bsinA;bsinC=csinB;asinC=csinA

3、a:b:b=sinA:sinB:sinC

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