面积相等的三角形一定全等吗（相似三角形面积相等能证明全等吗）

不是的。

这是把两个概念混淆了。三角形面积计算是一条边与其上的高乘积的一半，两个全等三角形不仅面积相等而且一模一样，也就是边长与内角都相等。那么，任意两个三角形，只要满足这个结果相同就是面积相等。而事实上，满足这个条件的三角形有无数个，但它们的边长以及内角各异，当然也包括边长和内角都相等的唯一一个特例。因此这句话倒过来是正确的：两个全等的三角形面积一定相等。