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什么是椭圆焦点(椭圆的焦点是怎么定义的)

什么是椭圆焦点(椭圆的焦点是怎么定义的)

更新时间:2023-12-20 20:46:06

什么是椭圆焦点

在数学中,椭圆是平面上到du两个固定点的距离之和是常数的轨迹。这两个固定点叫做焦点。数学表达式为:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)。

扩展资料:

椭圆定理与一般求解求解定理1:设F1、F2为椭圆C的两个焦点,P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P,且A和B在直线上位于P的两侧,则∠APF1=∠BPF2。(也就是说,椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线)。

定理2:设F1、F2为椭圆C的两个焦点,P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线,则AB平分∠F1PF2。

上述两定理的证明可以查看参考资料。

解析几何法求证椭圆切线定理:

解:设C:((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))=1-----式1;

(a^2)-(b^2)=(c^2);

F1(-c,0);F2(c,0);P(xp,yp)

AB:(y-yp)=k(x-xp)=>y=kx+(yp-kxp);令m=yp-kxp=>AB:y=kx+m-----式2;

联立式1和式2消去y得:((k^2)+((b^2)/(a^2)))(x^2)+2kmx+((m^2)-(b^2))=0;

因为直线AB切椭圆C于点P,所以上式只有唯一解,则:

4((km)^2)-4((k^2)+((b^2)/(a^2)))((m^2)-(b^2))=0=>m^2=((ak)^2)+(b^2);

m^2=(yp-kxp)^2=((yp)^2)+((kxp)^2)-2kxpyp=((ak)^2)+(b^2);

=>((a^2)-(xp^2))(k^2)+2xpypk+((b^2)-(yp^2));

由根的判别式得:4((xpyp)^2)-4((a^2)-(xp^2))((b^2)-(yp^2))=0;

所以k值有唯一解:k=(-2xpyp)/(2((a^2)-(xp^2)))=-xpyp/((a^2)-(xp^2));

由式1得:(a^2)-(xp^2)=(ayp/b)^2=>k=-(xp(b^2))/(yp(a^2));

m=yp-kxp=(((ypa)^2)+((xpb)^2))/(yp(a^2))=((ab)^2)/(yp(a^2))=(b^2)/yp;

设A0F1、B0F2分别过F1、F2垂直AB于A0、B0;

A0F1:(y-0)=(-1/k)(x+c)=>x+ky+c=0-----式3;

联立式2和式3消去y得:x=-(km+c)/((k^2)+1);

联立式2和式3消去x得:y= (m-kc)/((k^2)+1);

则:A0:(-(km+c)/((k^2)+1),(m-kc)/((k^2)+1));

|A0F1|^2=((m-kc)^2)/((k^2)+1));

同理:B0F2:(y-0)=(-1/k)(x-c);

=>B0:((c-km)/((k^2)+1),(m+kc)/((k^2)+1));

|B0F2|^2=((m+kc)^2)/((k^2)+1));

|PF1|^2=((xp+c)^2)+(yp^2);

|PF2|^2=((xp-c)^2)+(yp^2);

证明:若∠APF1=∠BPF2,则直角三角形A0PF1与直角三角形B0PF2相似;

=>|A0F1|/|PF1|=|B0F2|/|PF2|

=>(|A0F1|^2)/(|PF1|^2)=(|B0F2|^2)/(|PF2|^2)

=>(|PF2|^2)/(|PF1|^2)=(|B0F2|^2)/(|A0F1|^2)

((m+kc)^2)/((m-kc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));-----式4

m+kc=(b^2)/yp-(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)-xpc)(b^2)/(yp(a^2));-----式5

m-kc=(b^2)/yp+(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)+xpc)(b^2)/(yp(a^2));----式6

把式5和式6代入式4得:

(((a^2)-xpc)^2)/(((a^2)+xpc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));

=>(((a^2)-xpc)^2)(((xp+c)^2)+(yp^2))=(((a^2)+xpc)^2)(((xp-c)^2)+(yp^2))

=>(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)+(((a^2)-xpc)^2)(yp^2)=(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)+(((a^2)+xpc)^2)(yp^2)

=>[(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)-(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)]=[(((a^2)+xpc)^2)-(((a^2)-xpc)^2)](yp^2)

=>[((a^2)-xpc)(xp+c)+((a^2)+xpc)(xp-c)][((a^2)-xpc)(xp+c)-((a^2)+xpc)(xp-c)]=4xpc(ayp)^2

=>(2(a^2)xp-2(c^2)xp)(2c(a^2)-2c(xp^2))=4xpc(ayp)^2

=>4xpc(b^2)((a^2)-(xp^2))=4xpc(ayp)^2

=>(b^2)((a^2)-(xp^2))=(ayp)^2

=>(ab)^2=((ayp)^2)+((bxp)^2)

=>((xp^2)/(a^2))+((yp^2)/(b^2))=1等式成立,∠APF1=∠BPF2得证。

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