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燕尾定理和证明方法(燕尾定理最简单的方法)

燕尾定理和证明方法(燕尾定理最简单的方法)

更新时间:2023-12-23 16:21:50

燕尾定理和证明方法

在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,有S△AOB∶S△AOC=BD∶CD;S△AOB∶S△COB=AE∶CE;S△BOC∶S△AOC=BF∶AF。因此图类似燕尾而得名。是五大模型之一,是一个关于平面三角形的定理,俗称燕尾定理

证法:

第一种方法:利用分比性质;

第二种方法:命题得证;

第三种方法:面积法;

第四种方法:中位线法

燕尾定理:在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,有

S△AOB∶S△AOC=BD∶CD

S△AOB∶S△COB=AE∶CE

S△BOC∶S△AOC=BF∶AF

因此图类似燕尾而得名。是五大模型之一,是一个关于平面三角形的定理,俗称燕尾定理。

燕尾定理的证明方法:

利用分比性质(若a÷b=c÷d,则(a-b)÷b=(c-d)÷d,b≠0,d≠0,)

注:∵(a-b)÷b=a÷b-b÷b=a÷b-1,

(c-d)÷d=c÷d-d÷d=c÷d-1,

a/b=c/d

∴(a-b)÷b=(c-d)÷d

∵△ABD与△ACD同高

∴S△ABD:S△ACD=BD:CD

同理,S△OBD:S△OCD=BD:CD

利用分比性质,得

S△ABD-S△OBD:S△ACD-S△OCD=BD:CD

即S△AOB:S△AOC=BD:CD

命题得证。(由此可得:若X:Y=a∶b,X1∶Y1=a∶b;则(X±X1)∶(Y±Y1)=a∶b.其中Y、Y1≠0,Y≠Y1且Y-≠Y1)

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