关于黎曼几何的产生，和欧几里得的第五公设有关，我们知道欧几里得的几何学建立在五个公设之上，但是关于第五公设，即过直线外一点有且仅有一条直线和已知直线平行，在黎曼几何创立之前历来争论不休，人们认为这个公理似乎“太难了”，不像前四个公理那样的一目了然，似乎这不该成为一个公理，而是一个能被证明的定理。
在人们研究这个第五公设的证明问题时，黎曼和另一数学家分别建立了另外一种几何学，一种过直线外一点能有无数条直线和已知直线平行（马鞍面），另一种过直线外一点没有一条直线和已知直线平行（球面）。于是人们认识到，可以建立和欧几里得几何非常不同的几何学，而这个第五公设正起到一种为不同几何学分类的作用。黎曼几何建立之初，由于其研究高维对象，人们认为它只是一种智力游戏，没有实际用途。但随着数学和物理学的发展，其作用逐渐显现。黎曼几何最著名的应用莫过于爱因斯坦的广义相对论了，爱因斯坦认为引力的本质是时空的弯曲，而时空是三维空间加一维时间，要描述这样一个高维的弯曲时空，欧几里得几何以不至于胜任，黎曼几何就这样随着广义相对论的影响而被更多数理学家注意，从而有了更加深远的发展。
