当前位置:首页>维修大全>综合>

柯西不等式如何证明

柯西不等式如何证明

更新时间:2024-01-05 22:13:21

柯西不等式如何证明

Cauchy不等式的形式化写法就是:

记两列数分别是ai, bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.

令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)

则恒有 f(x) ≥ 0.

用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.

于是移项得到结论。

还可以用向量来证.

m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)

mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX.

因为cosX小于等于1,所以:a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2

这就证明了不等式.

柯西不等式还有很多种方法证,这里只写出两种较常用的证法.

更多栏目