物理上的矢量，数学上有时候又把它叫做向量
经常用 表示，其 xyz 分量我们用 表示
两个矢量的「乘法」，常用的有两种定义
一种叫做内积，或者叫做点乘，或者叫做标量积， ，这种乘法的计算结果是标量（也就是纯数） ，等于两个矢量的大小（也叫做「模长」） 的乘积再乘以两个矢量夹角 的「余弦」：
把分量写出来：
所以，当两个矢量方向相同时，内积最大；方向相反时，内积最小（负值，绝对值最大）；方向垂直时，内积为零；当两个矢量交换乘法次序时，内积不变：
另一种叫做外积，或者叫做叉乘，或者叫做矢量积， ，这种乘法的计算结果是另一个矢量 ，这个矢量 的大小等于原来两个矢量的大小的乘积再乘以两个矢量夹角 （小于180度）的「正弦」： ，这个矢量的方向由「右手法则」规定：右手的四个手指指向第一个矢量 ，然后四指（以小于180度的角度）弯曲向第二个矢量 的方向，这时候大拇指方向即为外积矢量 的方向
所以，当两个矢量方向平行（相同或者相反）时，外积为零；方向垂直时，外积最大；当两个矢量交换乘法次序时，外积大小不变，方向相反
矢量外积可以利用 Levi-Civita 符号 把分量形式写出来：定义 ，而 ，如果有任意两个指标相同，等于零，例如 ，那么有 ，或者 ， ，
可见，在计算矢量外积时，a矢量的x分量绝不可能和b矢量的x分量乘在一起，三者一定是「错开」的
从中学的角度来说，矢量外积的结果垂直于原来两个矢量所组成的平面，或者说，是沿平面的「法向」；而且其方向有某种任意性，和我们的约定有关，如果不采用「右手规则」而采用「左手规则」，一切也可以成立
从本质上来说，矢量外积之所以有定义，和我们所在的
三维
空间的某种「旋转」特性有关，而在二维
空间中，是不能定义矢量外积的（类似方法定义出来的结果恒为零）外积计算结果得到的矢量和普通的矢量有一定的区别，物理上叫做「赝矢量」或者「轴矢量」，它们在空间反射变换（即这样的操作：把xyz轴的正向变成负向，负向变成正向， ）下不变，而普通的矢量（为了和轴矢量相区别，普通的矢量又叫做「极矢量」）在空间反射变换下是要变符号的
既然外积的计算结果仍然是矢量 ，可以和另一个矢量 继续计算内积 ，这种乘法叫做「三重积」，三重积的大小（取绝对值） 等于以这三个矢量为棱所得到的平行六面体的体积
