调和级数是由调和数列各元素相加所得的和。中世纪后期的数学家Oresme证明了所有调和级数都是发散于无穷的。但是调和级数的拉马努金和存在，且为欧拉常数。
我们用反证法可以得出调和级数其实是发散的：
设S（n）=1+1/2+1/3+……+1/n假设级数 1+1/2+1/3+……+1/n+……是收敛的,那么lim n→∞ S（n）存在,将其记做S.
再设S（2n）=1+1/2+1/3+……+1/n+……+1/2n,于是也有lim n→∞ S（2n）=S那么S（2n）-S（n）= S-S = 0
但是实际上：S（2n）-S（n）= 1/（n+1) + 1/(n+2) + …… + 1/(2n)>1/(2n) + 1/(2n) + …… + 1/(2n)=1/2
于是推出矛盾,所以调和级数发散。
