"悠哉悠哉"出自《诗经·周南·关雎》原句是"悠哉悠哉,辗转反侧" --思念啊,发愁啊,翻来覆去睡不着。这是用来形容求之不得、相思之苦的。
后世的人大概是被这个"悠"字误导,所以这个词逐渐演变成形容悠闲的样子。